|
一、余數問題的由來
我國古代數學名著《孫子算經》中，記載這樣一個問題： “今有物不知其數，三三數之剩二，五五數之剩三，七七數之剩二，問物幾何。”用現在的話來說就是：“有一批物品，3個3個地數余2個，5個5個地數余3個，7個7個地數余2個，問這批物品最少有多少個?” 這個問題的解題思路，被稱為“孫子問題”、“鬼谷算”、“隔墻算”、“韓信點兵”等等。
二、余數問題的解法
余數問題核心基礎公式
余數基本關系式：被除數÷除數=商……余數（0≤余數＜除數）
余數基本恒等式：被除數=除數×商＋余數
在我們公務員行測考試中，一般余數問題有三種解法。
（一）同余問題核心口訣
“余同加余，和同加和，差同減差，除數最小公倍數作周期”
1、余同：用一個數除以幾個不同的數，得到的余數相同，此時該數可以選這個相同的余數，余同取余。
例：“一個數除以4余1，除以5余1，除以6余1”，則取1，表示為60n+1。
2、和同：用一個數除以幾個不同的數，得到的余數和除數的和相同，此時該數可以選這個相同的和數，和同加和。
例：“一個數除以4余3，除以5余2，除以6余1”，則取7，表示為60n+7。
3、差同：用一個數除以幾個不同的數，得到的余數和除數的差相同，此時該數可以選除數的最小公倍數減去這個相同的差數，差同減差。
例：“一個數除以4余1，除以5余2，除以6余3”，則取-3，表示為60n-3。
例：自然數P滿足下列條件：P除以10的余數為9，P除以9的余數為8，P除以8的余數為7。如果：100<P<1000，則這樣的P有幾個?
A.不存在 B.1個 C.2個 D.3個
【答案】C。解析：P除以8= ……7，P除以9=……8，P除以 10= ……9，差同，找除數8，9，10的公倍數360，所以有，100小于360N-1小于1000，所以有359和719兩個數
（二）剩余定理
如果兩個數相加和為另一個數字，如A+B=C.則ABC同時除以一個數字所剩的余數也滿足這樣的等式。如A除以3余m，B除以3余n，C除以3余0，則m+n一定是3的倍數。
例1. 6802-162×122-4642 =（ ）
A.210 240 B.196 000 C.197 100 D.198 000
【答案】A。解析：直接計算過于麻煩，利用剩余定理680、16×12、464均是8的倍數，則它們的平方都是8的平方即64的倍數。原式的值應是64的倍數，選項中只有A是64的倍數。
例2.買5件甲商品和3件乙商品，需要348元，如果買3件甲和2件乙，需要216元，那么單賣一件甲商品需要多少錢？（ ）
A．48B.46C.34D.32
【答案】A。解析一：5x+3y=348，3x+2y=216。2式乘以2再減去1式得x+y=84，帶入1式可得x=48.
解析二:剩余定理。5x+3y=348。348除以3余數是0.3y除以3余數也為0，根據剩余定理可知5x也要是3的倍數，則只有可能x是3的倍數，選項中3的倍數只有A。
例3.藥箱里有六箱貨物，分別重15、16、18、19、20、31千克，兩個顧客買走了其中的五箱，已知一個顧客買的貨物重量是另一個顧客的2倍，商店里剩下的一箱貨物重多少千克？（ ）
A. 16 B. 18 C. 19 D. 20
【答案】D解析：設買的少的顧客買了x，則另一個買了2x。剩余的一箱為m，則總的六箱為3x+m=119，119除以3余數為2，3x除以3余數也為2.根據剩余定理可知m除以3余數應該為2，四個選項中除3余數為2的只有D選項。
（三）余不同、和不同、差不同
主要針對“公倍數做周期：余同取余，和同加和，差同減差”以外的余數問題的題目，這一類題主要轉化為余同、合同或差同來解決。
例：一個三位數除以9余7，除以5余2，除以4余3，這樣的三位數共有？
A. 5個 B. 6個 C. 7個 D. 8個
【答案】A。解析 ：如同上題做，不過分兩步，如，P除以9= ……7，P除以5= ……2，P除以4= ……3先看下面后兩個，是和同（余數同除數的和相同，和同加和,就是加除數最小公倍數的N倍加和）5*4N+7=20n+7,得到的20n+7可看成P除以20= ……7，與第一個又成為余同，余同加余，20*9n+7=180n+7,所以有100小于180n+7小于等于999。
更多資料請關注公務員考試網
|
40004-20005
